Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, равен 1.
1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: φ(x) dx = ψ(y) dy.
2. Функция f (x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f (λx, λy) = f (x, y). Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, где P (x, y) dx и Q (x, y) dy - однородные функции одинакового измерения. Решение:
Привести к виду: y' = f (x, y), где f (x, y) - однородная функция нулевого измерения.
С помощью замены y = ux, где u - новая неизвестная функция, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: или . Методы решения:
Метод вариации произвольных постоянных:
Приравнять правую часть к нулю: и решить уравнение с разделяющимися переменными.
Подставить вместо С некую функцию от x и найти решение уравнения.
Применение подстановки y = uv, где u и v - функции от x, 1) получим уравнение: [u' + p (x) u] v + v' u = q (x). 2) Приравнять выражение в квадратных скобках к нулю и найти u (x). 3) Из [u' + p (x) u] v + v' u = q (x) найти v. 4) Из y = uv найти y.
4. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида: P dx + Q dy = 0, если , где P = P (x, y) и Q = Q (x, y) - непрерывные функции.
Уравнение такого вида тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (x, y), такая, что dU = P dx + Q dy, то есть и .
5. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида: , где - непрерывные функции. Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: , где - линейно независимая система решений. Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: , где y* - частное решение неоднородного уравнения.
5.1 Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: , где - некоторые постоянные. Решение уравнения будем искать в виде: .
Уравнение называется характеристическим уравнением.
Если корни характеристического уравнения действительны, то общее решение уравнения запишется в виде: .
Если корни характеристического уравнения - комплексные числа: , где , тогда решени имеет следующий вид: .
5.2 Линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: , где - некоторые постоянные. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .
Если , где - многочлен m-й степени, то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно искать в виде: , где - многочлен m-й степени с неопределёнными коэффициентами; s = 0, если γ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня.
Если , где - многочлены степени и , тогда частное решение можно искать в виде: , где ; s = 0, если γ + iβ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня. Примеры решения некоторых задач можно найти здесь:
1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: φ(x) dx = ψ(y) dy.
2. Функция f (x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f (λx, λy) =
Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, где P (x, y) dx и Q (x, y) dy - однородные функции одинакового измерения.
Решение:
3. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:
Методы решения:
4. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида: P dx + Q dy = 0, если
Уравнение такого вида тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (x, y), такая, что dU = P dx + Q dy, то есть
5. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:
5.1 Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
Решение уравнения будем искать в виде:
Уравнение
Если корни характеристического уравнения действительны, то общее решение уравнения запишется в виде:
Если корни характеристического уравнения - комплексные числа:
5.2 Линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Если
Если
Примеры решения некоторых задач можно найти здесь:
Используемый источник:
Учебное пособие под ред. В. И. Ермакова "Сборник задач по высшей математике для экономистов"
Полезные ресурсы:
Высшая математика для заочников и не только http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html
Сайт самостоятельной студенческой работы http://webmath.exponenta.ru/s/c/function/content/chapter3/section5/paragraph2/theory.html